Lernfeld 2 · Prüfung Teil 1

Zahlensysteme und Datenmengen

Dualzahlen, Hexadezimal, Zweierkomplement, Bit und Byte, KiB und KB sowie Dateigrößen und Übertragungszeiten sicher berechnen.

18 Aufgaben dazu übenKostenlos, ohne Anmeldung, mit Lösungsweg

Darum geht es

Rechner arbeiten im Dualsystem mit den Ziffern 0 und 1. Jede Stelle hat den Wert einer Zweierpotenz, von rechts $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$ und so weiter. Hexadezimal fasst je vier Bit zu einer Ziffer von 0 bis F zusammen, darum ist $FF_{16} = 1111111 1_{2} = 25 5_{10}$ . Negative Zahlen stellt der Rechner meist im Zweierkomplement dar: Bits umkehren und 1 addieren. Mit $n$ Bit lassen sich $2^{n}$ verschiedene Werte darstellen.

Bei Datenmengen gibt es zwei Vorsätze. Die SI-Vorsätze kB, MB, GB, TB rechnen mit Faktor 1000, die IEC-Vorsätze KiB, MiB, GiB, TiB mit Faktor 1024. Festplattenhersteller geben Dezimalwerte an, viele Betriebssysteme zeigen Binärwerte; darum erscheint eine 1-TB-Platte als rund 931 GiB. Datenraten werden in Bit pro Sekunde angegeben, Dateigrößen in Byte. Ein Byte hat 8 Bit.

Für Rechenaufgaben bestimmst du zuerst die Datenmenge in Bit oder Byte, etwa bei einem Bild Breite mal Höhe mal Farbtiefe oder bei Audio Abtastrate mal Bittiefe mal Kanäle mal Zeit. Danach teilst du durch die Datenrate. Reale Übertragungen erreichen wegen Protokoll-Overhead weniger als die Nenndatenrate; bei Gigabit-Ethernet sind etwa 110 bis 118 MB/s Nutzdaten normal.

Das solltest du dir merken

Eine Hexadezimalziffer entspricht genau vier Bit.
Mit $n$ Bit gibt es $2^{n}$ Werte, der größte vorzeichenlose Wert ist $2^{n} - 1$ .
kB, MB, GB rechnen mit 1000, KiB, MiB, GiB mit 1024.
Datenraten stehen in Bit pro Sekunde, Dateigrößen in Byte; der Umrechnungsfaktor ist 8.
ASCII nutzt 7 Bit, UTF-8 kann alle Unicode-Zeichen mit 1 bis 4 Byte darstellen.

Formeln

Anzahl darstellbarer Werte: $N = 2^{n}$; $N$ Anzahl der Werte, $n$ Anzahl der Bit
Bildgröße unkomprimiert: $S = \frac{B \cdot H \cdot F}{8}$; $S$ Größe in Byte, $B$ und $H$ Breite und Höhe in Pixel, $F$ Farbtiefe in Bit
Audiodaten unkomprimiert: $S = \frac{f _{A} \cdot n \cdot k \cdot t}{8}$; $S$ Größe in Byte, $f_{A}$ Abtastrate in Hz, $n$ Bit je Abtastwert, $k$ Kanäle, $t$ Dauer in s
Übertragungszeit: $t = \frac{S \cdot 8}{r}$; $t$ Zeit in s, $S$ Datenmenge in Byte, $r$ Datenrate in bit/s

Typische Fehler in der Prüfung

Byte und Bit verwechselt, das Ergebnis ist um den Faktor 8 falsch.
MiB mit 1000 statt mit 1024 mal 1024 Byte gerechnet.
Beim Zweierkomplement nur die Bits umgekehrt und die 1 nicht addiert.
Bei der Umrechnung von Hex in Dezimal die Stellenwerte als Zehnerpotenzen genommen.

Tipps aus der Werkstatt

Schreib dir die Stellenwerte 128 64 32 16 8 4 2 1 über die Dualzahl und addiere, wo eine 1 steht. Für Hex teilst du die Dualzahl in Vierergruppen; eine Gruppe 1111 ist F.
Bit und Byte sauber trennen: Datenraten in Bit pro Sekunde, Dateigrößen in Byte, Faktor 8 dazwischen. MB sind Zehnerpotenzen, MiB Zweierpotenzen. Bei Übertragungszeiten erst alles in Bit und Sekunden, dann umrechnen.

Sitzt das Thema? Teste dich mit echten Prüfungsfragen.

18 Aufgaben zu „Zahlensysteme und Datenmengen“, falsche Antworten kommen in der Runde noch einmal.

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Grundlage: Rahmenlehrplan IT-Berufe (KMK 2019), Lernfeld 2; IEC 80000-13 Vorsätze für Binärvielfache. Eigene Erklärung, keine Originalaufgaben der Prüfungsausschüsse.